Polynomkoeffizienten berechnen mit solve()

[BrickBardo]

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Programm zu Berechnung der Koeffizieten eines Polynoms achten Grades aus markanten Punkten geschrieben:

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import sympy as sp

# Extrempunkte: (-6, 5), (-2, -1), (6, 5)
# Sattelpunkt: (2, 3)
# Wendepunkte: (-4, 2), (0, 1), (4, 4)
# Flachpunkt: (8, 4)

# Variablen definieren
x = sp.symbols('x')
a8, a7, a6, a5, a4, a3, a2, a1, a0 = sp.symbols('a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0')

# Polynom definieren
f = a8*x**8 + a7*x**7 + a6*x**6 + a5*x**5 + a4*x**4 + a3*x**3 + a2*x**2 + a1*x + a0

# Bedingungen aufstellen
equations = [
    f.subs(x, -6) - 5,
    f.subs(x, -2) + 1,
    f.subs(x, 6) - 5,
    f.subs(x, 2) - 3,
    f.subs(x, -4) - 2,
    f.subs(x, 0) - 1,
    f.subs(x, 4) - 4,
    f.subs(x, 8) - 4,
    sp.diff(f, x, 1).subs(x, -6),
    sp.diff(f, x, 1).subs(x, -2),
    sp.diff(f, x, 1).subs(x, 6),
    sp.diff(f, x, 1).subs(x, 2),
    sp.diff(f, x, 1).subs(x, 8),
    sp.diff(f, x, 2).subs(x, 2),
    sp.diff(f, x, 2).subs(x, -4),
    sp.diff(f, x, 2).subs(x, 0),
    sp.diff(f, x, 2).subs(x, 4),
    sp.diff(f, x, 2).subs(x, 8),
    sp.diff(f, x, 3).subs(x, 8)
]

# Gleichungssystem lösen
solution = sp.solve(equations, (a8, a7, a6, a5, a4, a3, a2, a1, a0))
print(solution)

Allerdings bekomme ich nur zwei leere Klammern als Ausgabe, ein empty set. Ich verstehe leider nicht, wo dass Problem liegt. Wenn ich die f.subs weg lasse, wird eine Lösung berechnet. Ebenso, wenn ich die sp.diff weg lasse.

[Sirius3]

Du hast 19 Bedingungen an 9 Variablen. Warum glaubst Du, dass es dafür eine Lösung gibt?

[BrickBardo]

Du meinst 19 Gleichungen für 9 Unbekannte sind nicht ausreichend? Normalerweise reicht doch eine Gleichung pro Unbenannte, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Wenn ich nur die Ableitungen in das Gleichungssystem einfließen lasse, also 11 Gleichungen für 9 Unbekannte, so gibt solve() eine Lösung aus.

[__blackjack__]

@BrickBardo: Die Bedingungen können ja so sein, dass sich welche davon nicht gleichzeitig erfüllen lassen.