Eindeutige ID erzeugen aus zwei Interger-Werten

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modelnine
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Beitragvon modelnine » Mittwoch 8. März 2006, 08:53

Achso, als letztes noch, um die Richtung der Beweise in der Cantorschen Mengenlehre klarzumachen (die ich ein wenig durcheinandergewürfelt habe, zwecks Einfachheit):

Es gibt eine Bijektion, die angegeben ist, um aus einem Kartesischen Produkt zweier Mengen von natürlichen Zahlen eine Menge von natürlichen Zahlen zu machen. Hieraus kann ich folgern, dass die Mächtigkeit des Produkts der Mengen gleich der Menge selbst ist, beide sind also abzählbar unendlich (das ist die Definition von Mächtigkeit; damit zwei Mengen gleich-mächtig sind muß es eine Bijektion zwischen ihnen geben, und die Menge der natürlichen Zahlen nennt man abzählbar unendlich).

Wenn das Produkt zweier abzählbar unendlicher Mengen abzählbar unendlich ist, ist es auch das Produkt einer endlichen Anzahl von abzählbar unendlichen Mengen, was sich durch einfache Rekursion zeigen lässt. Da es sich um eine endliche Anzahl von Mengen handelt und bei jedem Rekursionsschritt joinint(i,joinint(j,joinint(k,...))) eine Menge verschwindet, bricht auch die Rekursion auf jeden Fall ab.

Das letztere ist der eigentliche Satz der Mengenlehre, der eben sagt dass zum Beispiel die Mächtigkeit der Menge aller rationalen Zahlen auch nicht mächtiger ist als die Menge aller natürlichen Zahlen. Denn schließlich ist eine rationale Zahl im Endeffekt nichts anderes als ein Tupel von drei natürlichen Zahlen: ({0;-1},Zähler,Nenner), was wiederum bedeutet, dass die Mächtigkeit der rationalen Zahlen auch abzählbar unendlich ist. Die ganzen Zahlen lassen sich genauso auf die natürlichen reduzieren, und sich genausowenig mächtiger.

Nun suchst Du suchst eine Injektion für (i,k) -> k, und kannst dann halt eben sagen dass eine Bijektion die für den Beweis des obigen Satzes benutzt wird genau das ist was Du willst.

So, genug. :-)
--- Heiko.

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