Komplexe Zahlen werden über die Wurzel von negativen Zahlen eingeführt. Eigentlich hat eine negative Zahl ja keine Wurzel:
- Welche Seitenlänge hat ein Quadrat mit der Fläche -10 cm² ?
- Was sind die Nullstellen der Parabel y(x) = x² + 1 ?
Wenn man aber annimmt, dass sie doch eine Wurzel haben, kann man mathematische Probleme lösen, die man sonst nicht lösen könnte. Man bekommt komplexe Zwischenergebnisse und reelle Endergebnisse.
Natürlich gibt es in der Natur keine komplexe Zahlen, aber in der Natur gibt es auch keine reelle, rationale oder negative Zahlen. In der Natur gibt es keine halben Steine, keine halben Atome und keine halben Flächen. In der Natur gibt es nur ganze positive Zahlen, der Rest ist ausgedacht, Mathematik ist eine Geisteswissenschaft. Komplexe Zahlen sind also nicht unnatürlicher als z.B. negative Zahlen:
Was sagt der Professor wenn nur ein Student kommt und zwei gleich wieder gehen? Wenn jetzt noch einer kommt ist keiner mehr da.
Komplexe Zahlen sind in der Physik und der Ingenieurswissenschaft immer dann sehr nützlich, wenn eine Größe durch zwei Komponenten dargestellt werden muss. Bei einer Schwingung sind das Amplitude und Phase. In der E-Technik gibt es beim Wechselstrom komplexe Widerstände. Ein ohmscher Widerstand ist rein reell, eine ideale Spule oder ein idealer Kondensator haben einen frequenzabhängigen imaginären Widerstand. Mit den komplexen Zahlen können diese Widerstände zu einem komplexen Gesamtwiderstand berechnet werden.
Die ebene Geometrie kann vollständig mit skalaren komplexen Zahlen anstatt mit 2D-Vektoren formuliert werden. Dazu habe ich hier im Forum einen Showcase gepostet:
http://www.python-forum.de/viewtopic.php?f=9&t=34607