Hi!
Mitternachtsformel? Hab ich noch nie gehört, klingt aber lustig
*räusper*
Also die bekannteste Methode um Nullstellen numerisch zu berechnen ist wohl das Newton'sche Näherungsverfahren. (Hier muss allerdings die erste Ableitung der Funktion bekannt sein):
Man beginnt also mit einem Schätzwert, x(i).
Dann gehts so weiter:
x(i+1) = Schätzwert - Funktionswert an der Stelle x(i) / Funktionswert der ersten Ableitung an der Stelle x(i).
x(i) = x(i+1), und weiter gehts ...
Wenn x(i+1) und x(i) sich kaum mehr unterscheiden, bricht man ab, dann ist man bei der Nullstelle.
Dookie hat bei seinem Programm (soweit ich das erkennen kann) die sog. Intervallschachtelung verwendet.
Hier braucht man 2 Schätzwerte, x(0) und x(1), aber nicht die erste Ableitung.
- Man berechnet mal die Funktionswerte von x(0) und x(1), f(x(0)) und f(x(1))
- und prüft, ob eine Nullstelle dazwischen liegt: man prüft einfach ob f(x(0)) * f(x(1)) < 0.Wenn ja gehts weiter, wenn nein muss man neue Startwerte wählen.
- Das intervall zwischen x(0) und x(1) wird halbiert, dort liegt der neue Punkt x(2).
- Liegt zwischen x(1) und x(2) eine Nullstelle (also ist f(x(1)) * f(x(2)) < 0?)
- Wenn ja, wieder halbieren, usw.
- Wenn nein, dann liegt die Nullstelle zwischen x(0) und x(2), und wir machen mit diesem Intervall weiter (halbieren, ...)
Tja, das geht so lange, bis der Funktionswert beim Halbierunspunkt ungefähr bei Null liegt.
Gut, ich glaube ich hab jetzt mehr verwirrt als geholfen, aber denk Dir die Methoden mal durch, sind eigentlich ganz leicht und durchschaubar
PS: Mir is grad eingefallen: Statt der ersten Ableitung beim Newton, kann man auch die numerische Ableitung einsetzen, aber ich glaube das verwirrt jetzt noch mehr ...
Gruß, mawe